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一道高考数学题的启示
2019-06-17 12:04:16 来源: 作者: 浏览:67次 评论:0
都说今年高考数学难,数学考试结束后考生们走出考场大都愁眉苦脸,直呼“太难”。事后网络上更是“骂声”一片,矛头直指出题人。
 
今天在网上看到一则新闻,一位美籍华人将今年高考全国Ⅱ卷理科数学的一道选择题拿给美国的一位初中数学老师做,这位美国老师拿到题目后陷入了沉思。几分钟后,老师先是决定使用代入法,未果;接着又使用了排除法,把答案一个个往回代,最终决定选择D。然而……这道题的正确答案是B……
 
我出于好奇,把这道题抄了下来,也想做做看。虽然离开校园许多年了,但是对中学的一些知识还是比较有兴趣的,许多知识也还未完全忘记。
 
这道题目是这样的:
 
 
我看了一遍题目后,首先的第一感受是对数学语言有点陌生了,看到那些符号、等式什么的感觉有点吃力,再仔细的看了一会后,才基本理解了意思。
 
感觉有点无从下手,过于抽象了一些,条件太少了一些。想了好一会也找不到什么头绪。
 
后来我看到在0到1区间它给出了一个具体的函数f(x)=x(x-1),一看就知道是一个二次函数,马上想到二次函数的图像是一个抛物线,于是心想何不把图形画出来看看呢?于是画了一个坐标,在0—1区间画了一个抛物线。虽然0不在区间内,但暂且可把它当作在区间内。把0和1代入函数,可得图像两边的值都为0,由二次项的系数可知抛物线的开口是向上的,于是可得图像为:
 

 
画出(0,1]区间的图像后,根据开始给出的一个条件f(x+1)=2f(x),可以设想,把图像中的一个点右移一个单位后,这个点的纵坐标会比原先增加一倍。假如把图像中所有的点都右移一个单位,则会出现一个什么样的图形呢?显然,区间是(1,2],而图形的“长度”则是第一个图形的两倍,可以设想是一个“拉长”的抛物线。
 
 
画出第二个抛物线后,我们心里基本上就有数了,显然图形还可以不断的画下去。
 
我们再回过头来看看第一个抛物线的顶点,可以算出它的y值为-1/4,那么第二个抛物线的顶点的y值为-2/4。再画出第三个抛物线,它的顶点的y值则为-1。与题目中给定的条件≥-8/9比较,显然第三个抛物线的顶点超出了范围,那么m的值就应该在顶点左边一点。
 
 

 
至此,我们就完全清楚这个题应该怎么解了。
 
这里有几个思维的跳跃要注意:
 
一、我们不必将这个函数看作一个“统一”的函数,而是将它看作一个一个“独立”的二次函数。
 
二、如何得到第二个、第三个抛物线的方程。第一个抛物线的方程是题目给出的,那么我们如何得到第二个、第三个抛物线的方程呢?显然第二个图像的值是2 x(x-1),第三个图像的值是4 x(x-1)。由于m点在第三个图像上,我们可不必考虑第二个图像了。那么第三个图像的方程可写为f(x)=4x(x-1),要注意的一点是这个表达式相对于原坐标并不正确,我们设想将坐标系向右移2个单位,这个方程才成立。这样计算起来要简化很多。
 
我们将-8/9代入方程:
 
-8/9=4 x(x-1)
 
解方程可得:x1=1/3,x2=2/3
 
显然我们只要左边的一个值1/3
 
这是将坐标平移后计算的结果,将坐标还原,则还要加2个单位,1/3+2=7/3,选B。
 
至此,这道不仅难住了很多中国学生,连美国老师都难住了的题目彻底“真相大白”。
 
应该说这道题还是有点难度的,它需要对函数的知识和概念掌握的相当好,而且还要能灵活运用。对于一般的高中生,而且在高考那种比较紧张的氛围下,要解出这道题难度确实还是比较大的。
 
回顾这道题的解答过程,我觉得可以获得一些有益的启示,现将我得到的一些启示记录下来,希望对广大的高中学子有所帮助。
 
一、对于数学语言要非常熟悉和熟练。数学语言与我们的文字表达语言有很大不同,它主要是用一些特殊的符号及表达式来描述。如果对数学语言掌握的不好的话,阅题就会比较困难,要么花的时间过长,完全完全不理解题意或理解错误,根本无法往下解题。所以说掌握数学语言是基本功,这个要平常多用功训练。如果数学语言掌握的好,把题目看一遍基本上就完全明白是什么意思了。
 
二、如果没有头绪,就试着画一画图。如果把题目看完后没有找到“题点”或没有什么思路,不妨画画图试试看。画图能让我们更直观的理解题意,让我们看的更清楚,帮助我们找到思路。可以说画图法是一种比较普遍适用的方法。人的思维有两种:逻辑思维和形象思维,图形图象是属于形象思维,两种思维可以互补,很多人都忽略了形象思维。我们把一些东西用图示的形式表达出来,可以很大程度的减轻我们大脑的负荷,让大脑更有效的运转。不要总是什么都放在脑子里想,要充分运用手、纸和笔,它们也是能帮助思考的。以前就听说过有的大科学家在对一个问题百思不得其解的时候,拿一支笔在纸上随便写写画画,突然之间就找到了灵感的故事。象这道题不画图就感觉完全没有头绪,把图一画立马就清晰了。
 
三、解出一道难题或有代表性的题后,可以再回过头来“复盘”一下解题的过程,看自己的思维是如何演进的,要能从中获得一些启发,总结一些方法和心得。这样解一道就可以解决一大批题。不断的总结、积累和提升,不断的这样循环,自己的方法积累和能力提升就可以不断跃进到一个新境界,可以解决更大范围和难度更大的问题。这样学数学就可以学的好,高考数学就能拿高分。
责任编辑:树人
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